Примеры задач по математике

Математическая физика

1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если один конец струны закреплен жестко, а другой конец свободен. 

Решение:

Постановка задачи:

u_tt =a² u_xx+f(x,t), 0< x < l, t>0

Начальные условия u(0,x)=φ(x), u_t(0,x)=ψ(x)
Граничные условия u(t,0)=0, u(t,l)=g(x)

Получили неоднородные колебания струны с неоднородными граничными условиями.

2. Решить задачу на бесконечной прямой

u_tt = u_xx , -  ∞ < x < +∞  , t > 0

u(x,0)= arctgx, u_t(x,0) = (1+x²)^-1 , -  ∞ < x < +∞ 

Решение:

В данной задаче необходимо применить формулу Даламбера. Скачать

3. Найти температуру стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его правом конце поддерживается температура, равная нулю, а на левом конце температура равна . Начальная температура стержня равна нулю.

Решение: Скачать

4. Найти функцию, гармоническую в кольце 1 < r < 2 и такую, что u(1, φ)=u₁,  u(2, φ)=u₂, где u₁ и u₂ – константы.

Решение: Скачать